Introducción a la Inferencial Causal

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# Causalidad - Clase 2

## José Morales-Arilla y Carlos Daboín

#### Universidad Católica Andrés Bello 
#### Abril, 2022

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# El abogado quiere probar (o refutar) una afirmación

.pull-left[
### ¿Cómo opera un juicio?
- ¿Cuál es el objetivo del abogado acusador?
  - Probar una afirmación.

- ¿Cuál es el objetivo del abogado defensor?
  - Poner en duda la afirmación.

- ¿Quién tiene el "peso de la prueba"?
  - El abogado acusador.
]

.pull-right[
### ¿Cómo se estructuran los argumentos?
1. Afirmación:
  - "Fulanito mató a Menganito"
2. Razonamiento:
  - "Fulanito le tenía culebra"
3. Evidencia:
  - "Fulanito es el dueño de la pistola"

### ¿Por qué esa evidencia no es suficiente?
- Porque ese _hecho_ puede explicarse...
- ...aún si la afirmación es _falsa_.
  - "A Fulanito le pudieron robar la pistola". 
]

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# El investigador quiere responder una pregunta

.pull-left[
### ¿Cuál es el trabajo de un investigador?
1. Plantear una pregunta:
  - ¿La presencia policial reduce el crimen?

2. Ofrecer una teoría:
  - `\(\uparrow\)` Policías `\(\to\)` `\(\uparrow\)` Prob. aprehensión `\(\to\)` `\(\downarrow\)` Crimen

3. Mostrar datos empíricos:
  - Menos crimen en zonas con más policías.
]

.pull-right[
### ¿Quién es el abogado defensor?
- "La comunidad científica".
  - Editor/Árbitros en revistas académicas.
- Proceso contencioso.

### ¿Por qué esa evidencia no es suficiente?
- Porque ese _hecho_ puede explicarse...
- ...aún si la afirmación es _falsa_.
  - Las zonas con más policías son más ricas.

]

--
### El problema de "identificación": El peso de la prueba de los investigadores.
- La investigación debe ofrecer evidencia que solo pueda explicarse bajo una respuesta a la pregunta.

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# Tipos de evidencia empírica
.pull-left[
### Evidencia cualitativa
Los datos y su análisis no son numéricos
- Entrevistas
- Focus groups
- Casos de estudio
- Análisis comparativo
- Etnografías

Prevalente en la mayoría de las ciencias sociales
]

.pull-right[
### Evidencia cuantitativa
Los datos y su análisis son numéricos
- Teoría y práctica de la medida
- Cuantificación de la evidencia cualitativa
- Descripción numérica de características
- Descripción numérica de relaciones
- Cuantificación de la incertidumbre

Prevalente en la mayoría de las ciencias naturales
]

### Este curso: Aplicación de evidencia cuantitativa para preguntas en las ciencias sociales.

- Más establecido en la economía, pero creciente en muchas otras ciencias sociales.
- Ciencias políticas, epidemiología, psicología, sociología, antropología, etc.

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# El diseño de la investigación depende de la pregunta

### Preguntas descriptivas
- Sobre una característica: "¿Cuál es la tasa de criminalidad en Venezuela?"
- Sobre asociaciones entre características: "¿Las parroquias más pobres son más violentas en Venezuela?"

### Preguntas causales
- "¿Cuál es el efecto de la pobreza sobre la violencia en Venezuela?"

### ¿Cuál es la diferencia entre la segunda pregunta y la tercera?

- La segunda implica *Correlación*, la tercera implica *"correlación bajo manipulación"* (**Causalidad**).

### Este curso: Aplicación de evidencia cuantitativa para preguntas **causales** en las ciencias sociales.

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# Características de una buena pregunta de investigación:

.pull-left[
### 1. Puede responderse.
Es posible que existan datos en el mundo que nos permitan responder la pregunta.
- "¿Quién es mejor, Cristiano o Messi?"
  - Imprecisión, espacio para la subjetividad.
- "¿Quién participó en más goles entre 2005 y 2020?"
  - Preciso, medible. 
  - Ayuda a responder quien es mejor.
- "¿Cuál fue el PIB de Venezuela y Perú en 2013?"
  - "¿A que tipo de cambio?" vs. "Ya te lo busco".
- Estructura + Datos disponibles + Escala viable.
]

.pull-right[
### 2. Es relevante.
Si la respondemos, va a mejor nuestro entendimiento sobre como funciona el mundo.
- Informa un debate teórico, responde un por qué.
- Nos lleva de una teoría a una hipótesis.
- Si esta teoría es cierta, el mundo debería ser así...
- Pregunta: ¿Cómo se comporta el mundo? 
  - Hipótesis: El mundo es como sugiere la teoría.
  - Ahora buscamos los datos y vemos.
- Si empezamos a caminar hacia el este y llegamos al mismo sitio: ¿Qué teoría refutamos?
]

### La teoría de la tía: "Los pobres llevan el barrio en la cabeza" `\(\to\)` ¿Pregunta de investigación?

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# Teoría `\(\to\)` Hipotesis `\(\to\)` Pregunta

### Teoría: Planteamiento general sobre el funcionamiento de cierto fenómeno

- "La tierra es esférica".
  
### Hipótesis: Afirmación sobre como debe fucionar el mundo *solo* si la teoría es cierta
  - "Si te mueves en la misma dirección por el tiempo suficiente, terminarás en el mismo sitio".
  
### Pregunta: Cuestionamiento empírico sobre el funcionamiento del mundo
  - "¿Dónde ha terminado la gente que se ha movido en la misma dirección?".

### ¿Cuál viene primero en el proceso de investigación?
- En teoría, la teoría viene primero. En la práctica...

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# Enfoque bayesiano para evaluar una pregunta:

### `\(P(Teoría | Evidencia) = \frac{P(Evidencia | Teoría) * P(Teoría)}{P(Evidencia)}\)`

- Nunca vemos el proceso que genera los datos, y no sabemos si ese proceso es consistente con nuestra teoría.
- Solo vemos los datos, a los que podemos hacer preguntas: ¿Cuáles son las posibles respuestas a tu pregunta?
  - "La gente que se mueve en la misma dirección terminó en el mismo sitio".
  - "La gente que se mueve en la misma dirección no terminó en el mismo sitio".
- ¿Cambia la probabilidad de que la teoría sea cierta con distintas respuestas?
  - ¿P(Teoría|Evidencia)>>P(Teoría)?, ¿Evidencia `\(\not\perp\)` Teoría?

### Ejemplos:
- Si encontramos que la gente que se mueve en la misma dirección termina en el mismo sitio: 
  - ¿Cambia la probabilidad de que la tierra sea redonda?
- Si encontramos que la gente que nace en el barrio deja de ser pobre después de mudarse del barrio:
  - ¿Cambia la probabilidad de que la teoría de la tía sea cierta?

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# Ventas de aguacates en California

.center[<img src="images/aguacates.png" width="60%" />]

### ¿Qué nos dice esta figura? ¿Qué teoría(s) informa?

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# Oferta y demanda operan al mismo tiempo

.center[<img src="images/aguacate_teoria.png" width="50%" />]

### ¿Qué variación nos da la elasticidad de demanda? ¿y la de oferta?

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# Identificación de efectos causales = aislar la variación correcta

### Precios y cantidades se mueven por muchas razones.

- Oferta y demanda se mueven de forma simultanea.
- Cantidades transadas `\(\not =\)` Cantidades demandadas `\(\not =\)` Cantidades ofrecidas.

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### Se puede aislar la variación en cantidades producto de cambios en demanda u oferta.

- Sequías en México reducen la oferta. Caídas del ingreso reducen la demanda.

### Identificación: Teoría y supuestos para aislar la variación de interés en tu pregunta de investigación.
- Teoría sobre el proceso de generación de datos: Oferta y demanda.
- Supuestos: Sequías solo afectan el precio porque restringen la oferta.
- Correlación entre las cantidades explicadas por las sequías con los precios = Elasticidad (Efecto causal)
  - Las sequías son un **instrumento** para cambios en la oferta de aguacates. Más respecto más adelante.

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# Si la correlación no es causalidad, ¿Qué es la correlación?

### Marco de resultados potenciales (Potential Outcomes Framework):

- `\(Y_i\)`: Valor de variable resultado `\(Y\)` para el individuo `\(i\)`. `\(Y\)` es un valor continuo.
- `\(T_i\)`: Valor de variable de tratamiento `\(T\)` para el individuo `\(i\)`. `\(T\)` es una variable binaria.
- `\(Y_i^0\)`: Valor de `\(Y\)` para el individuo `\(i\)` si no recibe el tratamiento.
- `\(Y_i^1\)`: Valor de `\(Y\)` para el individuo `\(i\)` si recibe el tratamiento.
- `\(Y_i^1-Y_i^0\)`: Efecto del tratamiento sobre el individuo `\(i\)`.

### Problema fundamental de la inferencia causal es que `\(Y_i^1-Y_i^0\)` no se puede observar.
 
 .center[ `\(ID\)` | `\(T_i\)` | `\(Y_i^0\)` | `\(Y_i^1\)` | `\(Y_i^1 - Y_i^0\)` | `\(Y_i\)`
 ------------- | ------------- | ------------- | ------------- | ------------- |
 1 | 1 | 20 | 23 | 3 | 23 
 2 | 1 | 50 | 57 | 7 | 57
 3 | 0 | 15 | 17 | 2 | 15
 4 | 0 | 23 | 31 | 8 | 23

]

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# Si la correlación no es causalidad, ¿Qué es la correlación?

### El investigador necesita evidencia general del efecto:
- `\(E[Y_i^1 - Y_i^0]\)`: Efecto promedio del tratamiento (ATE).
- En la data, nunca podremos calcular el promedio de `\(Y_i^1 - Y_i^0\)`.
- Pero si podremos calcular `\(\bar{Y}_i^1=\frac{\sum_1^NY_i*T_i}{\sum_1^NT_i}\)` y `\(\bar{Y}_i^0=\frac{\sum_1^NY_i*(1-T_i)}{\sum_1^N(1-T_i)}\)`
- Estas son las aproximaciones muestrales de `\(E[Y_i^1|T_i = 1]\)` y `\(E[Y_i^0|T_i=0]\)`.
  - `\(E[Y_i^1|T_i = 1]\)`: Valor esperado de `\(Y\)` si se recibe el tratamiento para los que reciben el tratamiento.
    - `\(E[Y_i^0|T_i = 0]\)`: Valor esperado de `\(Y\)` si no se recibe el tratamiento para los que no reciben el tratamiento.
- `\(E[Y_i^1|T_i=1]-E[Y_i^0|T_i=0]\)`: Diferencia esperada entre promomedios grupales (EDGM) = **Correlación**.

### La pregunta es si `\(E[Y_i^1|T_i=1]-E[Y_i^0|T_i=0]\)` = `\(E[Y_i^1-Y_i^0]\)` 
- Es decir, la pregunta es si correlación es igual a la causalidad (EDGM =? ATE)
  
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# Si la correlación no es causalidad, ¿Qué es la correlación?

### `\(E[Y_i^1|T_i=1]-E[Y_i^0|T_i=0] =\)`
### `\(\underbrace{E[Y_i^1|T_i=1]-E[Y_i^0|T_i=1]}_{\text{Efecto promedio sobre los tratados (ATT)}}+ \underbrace{E[Y_i^0|T_i=1]-E[Y_i^0|T_i=0]}_{\text{Sesgo de selección (Selection bias)}}\)`
- `\(E[Y_i^0|T_i=1]\)`: Valor esperado de `\(Y\)` de no recibir el tratamiento entre los que si reciben el tratamiento.

### `\(\underbrace{\text{EDGM}}_{\text{Correlación}} = \underbrace{ATE}_{\text{Causalidad}} + \underbrace{(ATT-ATE)}_{\text{Selección sobre retornos}} + \underbrace{SB}_{Sesgo}\)`

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# Condiciones para que Correlación = Causalidad

### Concepto de independencia estadística: Si A `\(\perp\)` B; P(A|B) = P(A)

### Independencia entre tratamiento y resultados potenciales.
- Si `\(\{Y_i^0; Y_i^1\}\perp T_i\)`, entonces `\(E[Y_i^x|T_i=x]=E[Y_i^x]  \hspace{.5cm} \forall x\in \{0, 1\}\)`. 
  - `\(\underbrace{E[Y_i^1|T_i=1]-E[Y_i^0|T_i=1]}_{\text{ATT}} =E[Y_i^1]-E[Y_i^0] = \underbrace{E[Y_i^1-Y_i^0]}_{\text{ATE}}\)`
  - `\(\underbrace{E[Y_i^0|T_i=1]-E[Y_i^0|T_i=0]}_{\text{SB}}=0\)`
  
### `\(\underbrace{E[Y_i^1|T_i=1]-E[Y_i^0|T_i=0]}_{\text{Correlación}} = \underbrace{ATE}_{\text{Causalidad}} + \underbrace{(ATT-ATE)}_{0} + \underbrace{SB}_{0}\)`

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# Condiciones para que Correlación = Causalidad

### Si sabes que el tratamiento es independente a los resultados potenciales:
- La diferencia esperada entre los promedios del grupo de tratados y no tratados (Correlación)...
- ...es un estimador insesgado (consistente) del efecto promedio del tratamiento (Efecto causal de interés).
- Puedes observar el promedio de algo que no puedes observar (efectos individuales del tratamiento).

### Pregunta trampa #1:
- ¿Es posible que ATT = ATE, pero SB `\(\not =\)` 0? 
  - Pista: Imagínense que todos los argentinos fueran igual de rumberos que Carlos.

### Pregunta trampa #2:
- Estamos haciendo estadística: ¿Qué le falta a la ecuación `\(Corr = ATE + (ATT-ATE) + SB\)`?  
  - Pista: El elemento que falta se diluye con muestras más grandes.

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# Tratamiento `\(\perp\)` resultados potenciales en la data:
.pull-left[

```r
library(tidyverse)

df <- data.frame(
 eY = rnorm(10000), 
 T = sample(c(0,1), 10000, 
 replace = T)) %>%
 mutate(Y_0 = eY, 
 Y_1 = eY + 1,
 Y = ifelse(T == 1, 
 Y_1 , Y_0),
 dY = Y_1 - Y_0)

ATE = df %>% summarize(mean(dY))
EDGM = df %>% filter(T == 1) %>% 
  summarize(mean(Y)) -
  df %>% filter(T == 0) %>% 
  summarize(mean(Y))
```
]

.pull-right[
### El ATE debería ser igual a 1.

### El EDGM da 1.01.

<img src="Clase2_files/figure-html/unnamed-chunk-2-1.png" width="70%" style="display: block; margin: auto;" />
]

---

# Tratamiento `\(\not\perp\)` resultados potenciales en la data:
.pull-left[

```r
df <- data.frame(
 Z = runif(10000),
 eY = runif(10000)) %>% 
 mutate(Y_0 = eY + Z, 
 Y_1 = Y_0 + 1,
 T = Z > .7,
 Y = ifelse(T == 1,Y_1, Y_0),
 dY = Y_1 - Y_0
 )

ATE = df %>% summarize(mean(dY))
EDGM = df %>% filter(T == 1) %>% 
  summarize(mean(Y)) -
  df %>% filter(T == 0) %>% 
  summarize(mean(Y))
```
]

.pull-right[
### El ATE debería ser igual a 1.

### El EDGM da 1.5.

]

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# ¿Qué aprendimos hoy?

### 1. Problema de identificación: Peso de la prueba del investigador.

### 2. Características de una buena pregunta de investigación

### 3. Identificación de efectos causales: Usar teoría y supuestos para aislar la variación correcta.

### 4. Marco de resultados potenciales y componentes de la correlación.

### 5. Condiciones bajo las que correlación = causalidad.

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class: center, middle

# Gracias