Introducción a la Inferencial Causal

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# Causalidad - Clase 4

## José Morales-Arilla y Carlos Daboín

#### Universidad Católica Andrés Bello 
#### Mayo, 2022

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# ¿Qué aprendimos la clase pasada?

### RCTs son el "Estandar de oro" para la evaluación de efectos causales.

### Siempre empezamos preguntándonos: ¿Cuál sería el experimento ideal?

### Del experimento ideal pasamos al experimento (o al diseño de investigación) posible.

### Muestreo aleatorio compra validez externa, tratamiento aleatorio compra validez interna.

### Exploración de variación adicional sirve para identificar teoría y decantar sus detalles.

### No siempre hay cumplimiento perfecto del protocolo experimental.

### En ese caso, se identifica el efecto causal "local" para los "cumplidores" (LATE).

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# Lamentablemente, no siempre podemos correr experimentos.

### Experimentos cumplen supuesto de que `$E[Y_i^x|T_i=x]=E[Y_i^x]$` por diseño. Sin embargo...
### ...no siempre son posibles, y no siempre son éticos.
### ...Cuando son posibles y éticos, tienden a ser muy caros.
### ...Para reducir costos se reducen las muestras... problemas de poder estadístico.
### ...Para reducir costos se estudian grupos convenientes... problemas de representatividad.
### ...La gente puede actuar diferente cuando sabe que está en un experimento.
### ...Intervenciones artificiales pueden no ser iguales al tratamiento "silvestre".

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# Alternativa: Analisis de datos *observacionales*.

### Podemos tomar datos del mundo real sobre causas y consecuencias de interés y evaluar su correlación.

### Sin embargo, no podemos generalizar el supuesto de que `$E[Y_i^x|T_i=x]=E[Y_i^x]$`.

### Es decir, puede haber sesgo de selección.

### Entramos al mundo de la evidencia empírica cuasi-experimental.

### Para identificar efectos causales debemos establecer supuestos de identificación plausibles.

### En contextos sociales pueden haber una infinidad de factores mediando entre causas y consecuencias.

### Podemos formalizar una teoría para guiar nuestra atención a través de un "Modelo".

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# ¿Qué es un modelo?

### Un modelo es una simplificación teórica sobre el proceso de generación de los datos observados.

### Refleja las posibles vías que pueden explicar una correlación en el marco de la teoría.

### Una vez se plantea el modelo, este nos indica exactamente como estimar el efecto causal de interés...

### ...*bajo el supuesto de que el modelo es correcto*.

# Milton Friedman: 
# "Todos los modelos están equivocados, pero algunos son útiles".

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# ¿Litigios de propiedad intelectual `$\to$` menos ganancias?

.pull-left[
### Simulemos una encuesta industrial

```r
set.seed(21)
N <- 1000
df <- tibble(
  # ~30% de las firmas están en tech.
  tech = rbinom(N, 1, .3)) %>% 
  # ~50% de firmas tech tienen litigios de IP
  # solo ~10% de firmas en otros sectores.
  mutate(IP = as.numeric(
    runif(N) > .9 - .4*tech)) %>%
  # Firmas tech son muy rentables...
  # ...pero litigio afecta negativamente.
  mutate(profit = 2 * tech 
         - .3 * IP
         + rnorm(N, mean = 5))
# Correlación entre gasto en litigio y ganancias:
corr <- feols(profit ~ IP, df)
```
]

.pull-right[
### En la simulación conocemos el proceso de generación de datos real.

### El investigador no lo conoce, así que trata de estudiar la correlación entre gastos de litigios de IP y ganancias.

### Una regresión simple sugiere que los litigios se asocian con un aumento de las ganancias de 686.17 mil.

### En la simulación, el efecto causal del litigio es -300 mil... ¿Qué está pasando?
]
---
# ¿Qué sospechamos sobre como se generaron estos datos?

### Sospechamos que los costos de IP deben bajar las ganancias.

### Sabemos que en el sector de tecnología hay más demandas por propiedad intelectual.

### Sabemos que las empresas tecnológicas tienden a ser más rentables.

### Bajo este modelo, podemos especular que una correlación positiva entre litigios de IP y ganancias se debe a las mayores ganancias de las empresas que más litigan (las del sector tecnológico).

### Podemos expresar este modelo como un **diagrama causal**.
#### - Conocidos también como "Gráficas Acíclicas Dirigidas" (DAGs)
#### - Para hacer un DAG, solo identifica las variables relevantes en tu teoría, e identifica las relaciones causales entre ellas.

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# ¿Litigios de propiedad intelectual `$\to$` menos ganancias?

.pull-left[
### ¿Qué sospechamos sobre estos datos?

- Sospechamos que litigio baja las ganancias.

- ...que en el sector de tecnología hay más litigio por propiedad intelectual.

- ...que en tech las empresas son más rentables. 
]

.pull-right[
### Diagrama de nuestras sospechas y conocimiento
.center[<img src="images/DAG1.png" width="100%" />]
]

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# DAGs e identificación

.pull-left[
### Diagrama de nuestras sospechas y conocimiento
.center[<img src="images/DAG1.png" width="100%" />]
]

.pull-right[
### El DAG nos permite:

- Formalizar nuestros supuestos sobre el proceso de generación de datos.
- Especificar como esos supuestos encajan entre ellos para explicar la realidad.
- Saber que es lo que hay que hacer para **identificar** un efecto causal bajo los supuestos del modelo.

### En este caso en particular:

- Nos interesa identificar el efecto de IP.sp `$\to$` profit. El DAG sugiere que para identificar ese efecto causal bajo nuestro modelo, debemos "cerrar" la conexión a través de tech.

]

---
# Tenemos que "controlar" por "otros canales" entre causa y efecto.

### Parte de la correlación entre litigio y ganancias puede ser explicada por el sector tecnológico.

### La parte de la correlación entre litigio y ganancias que no es explicada por el sector tecnológico...

### ...captura el efecto causal del litigio sobre las ganancias (en el marco de nuestro modelo).

### ¿Qué podemos hacer?

- Explicar el gasto en litigio con la industria y tomar el residuo.

- Explicar las ganancias con la industria y tomar el residuo.

- La asociación entre los residuos es el efecto causal (de acuerdo a nuestro modelo).

---
# "Residualizar" la variación de tech = Controlar por tech

.pull-left[
### Residualizar:
#### `$IP_i=\alpha_0+\alpha_1 * Tech_i + \epsilon^{IP}_i$`
#### `$\pi_i=\gamma_0+\gamma_1 * Tech_i + \epsilon^{\pi}_i$`
#### `$\epsilon^{\pi}_i = \beta_0+\beta_1 * \epsilon^{IP}_i + \epsilon_i$`

```r
df$R_IP <- feols(IP ~ tech, 
                 df)$residuals
df$R_profit <- feols(profit ~ tech, 
                     df)$residuals
corr_resids <- feols(R_profit ~ R_IP, df)
```

Efecto causal estimado: 
Bajo el modelo, litigar reduce las ganancias en 307.96 mil dólares.

]

.pull-right[
### El teorema Frisch-Waugh-Lovell prueba que el resultado de ese procedimiento es análogo a correr una sola regresión que "controla" por la variable que queremos residualizar (Tech).

#### `$\pi_i=\beta_0+\beta_1 * IP_i + \beta_2 * Tech_i + \epsilon_i$`

```r
corr_control <- 
  feols(profit ~ IP + tech, df)
```

Efecto causal estimado: 
Bajo el modelo, litigar reduce las ganancias en 307.96 mil dólares.

]

---
# Visualmente: ¿Qué significa "controlar" por algo?

.center[<img src="images/Control1.gif" width="60%" />]

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# ¿Cuál es el supuesto de identificación detrás de nuestro DAG?

### Experimentos: Tratamiento es independiente de los resultados portenciales *por diseño*.

### En este caso, no lo sabemos por diseño.

### Podríamos asumir que el tratamiento es independiente de los resultados potenciales.
- El DAG resultante de ese modelo sería IP `$\to$` Profit.
- Efecto causal de IP sobre Profit sería positivo. Raro. Modelo muy simplista, supuesto de identificación implausible.

### Supuesto de nuestro modelo: Independencia condicional entre tratamiento y resultados potenciales.
- El supuesto que establece es el tratamientro y los resultados son **condicionalmente** independientes.
- "Para firmas que están en el mismo sector, el gasto en IP es independiente de las ganancias potenciales."
- Es análogo a decir "Condicional en el sector, IP `$\perp$` `$\pi$` potencial".
- Correlación simple compara peras con manzanas. Controlar `$\to$` Correlación entre empresas del mismo sector. 
- Bajo nuestro modelo, ese es el efecto causal. 
---
# Bajo modelo, no controlar por tech `$\to$` sesgo de variable omitida.

.pull-left[
### Regresión larga: 
`$\pi_i=\beta_0+\beta_1 * IP_i + \beta_2 * Tech_i + \epsilon^L_i$`

### Regresión corta: 
`$\pi_i=\alpha_0 + \alpha_1 * IP_i + \epsilon^C_i$`
]
--
.pull-right[
### Regresión auxiliar:
`$Tech_i=\gamma_0 + \gamma_1 * IP_i + \epsilon^A_i$`

### Substituyendo auxiliar en regresión larga:
`$\pi_i=\beta_0+\beta_1 * IP_i + \beta_2 * [\gamma_0 + \gamma_1 * IP_i + \epsilon^A_i] + \epsilon^L_i$`
]

--
.pull-left[
### Reordenando términamos tenemos:
`$\pi_i=\underbrace{\beta_0+\beta_2 * \gamma_0}_{\alpha_0} + \underbrace{[\beta_1 + \beta_2 * \gamma_1]}_{\alpha_1} * IP_i + \underbrace{\epsilon^L_i + \beta_2*\epsilon^A_i}_{\epsilon^C_i}$`
]

.pull-right[
### Si corremos regresión corta:
- Obtenemos `$\alpha_1$` como el efecto de `$IP$` sobre `$\pi$`.
- `$\alpha_1$` estimador sesgado de de `$\beta_1$`.
- Tamaño del sesgo: `$\beta_2 * \gamma_1$`
]

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# ¿Por qué no controlar por todo en lugar de depender del modelo?

### Porque existen los "malos controles":
- No debemos controlar por mecanismos a través de los que X lleva a Y.
- No debemos controlar por consecuencias de Y.
- No debemos controlar por "colisionadores" (más adelante).
- Entender a alguna variable como mecanismo, consecuencia del resultado o colisionador depende del modelo.

### Si nos interesa el efecto de X sobre Y, solo deberíamos controlar por Z bajo el modelo (1).
.center[<img src="images/DAG2.png" width="60%" />]

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# Criterios de puerta principal y puerta trasera.
### Analogía de las puertas en los DAGs:
- Correlación: El gato se salió de la casa.
- Causalidad: ¿Por donde sale el gato de la casa?

### Si te interesa el efecto de la puerta principal sobre la probabilidad de que el gato se salga...
- Cierra todas las puertas traseras!
- Correlación entre si la puerta de enfrente se queda abierta o no con la salida del gato = Efecto causal de interés.

### Para estimar efectos causales, queremos "cerrar" todas las "puertas traseras" del DAG:
- Todas las vías que el DAG sugiere pueden llevar a una correlación entre X y Y que no van de X -> Y.

---
# ¿Cuáles son los "caminos" que conectan causa y efecto?

.center[<img src="images/DAG1.png" width="40%" />]

### Nos interesa el efecto de `$IP$` `$\to$` `$\pi$`. ¿Qué caminos los conectan?
- `$IP$` `$\to$` `$\pi$` (Puerta principal)
- `$IP$` `$\leftarrow$` `$Tech$` `$\to$` `$\pi$` (Puerta trasera)
- ¿Cómo cerramos la puerta trasera? "Controlando".
---
# ¿Consumo de vino `$\to$` Longevidad?

.pull-left[.center[<img src="images/DAG4.png" width="90%" />]]
--
.pull-right[
### Caminos entre consumo de vino y longevidad:
- vino -> longevidad
- vino -> drogas -> longevidad
- vino <- salud -> longevidad
- vino <- ingreso -> longevidad
- vino <- salud <- U1 -> ingreso -> longevidad
- vino <- ingreso <- U1 -> salud -> longevidad
- (U1: No observable)
]

### ¿Cuáles son puertas principales y cuales son puertas traseras? ¿Cómo cerramos las traseras?

- Principales: vino -> longevidad | vino -> drogas -> longevidad. Traseras: Todas las demás.
- Método de puerta trasera: Controlando por salud e ingresos.
  - Las drogas son una puerta principal. U1 no afecta la asociación por vías distintas a salud e ingresos.

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# Colisionadores como mal control:

.pull-left[.center[<img src="images/Collider.png" width="90%" />]]

.pull-right[
### Caminos:
- X -> Y
- X <- a -> m <- b -> Y

### En el segundo camino, las flechas "colisionan".
- Cuando esto ocurre, ya ese camino está cerrado.
- Controlar por alguna variable en ese canal lo vuelve a abrir. Genera sesgo de selección donde no había.

### Tienes que controlar por m? No.
- Si controlas por m, también controla por a o b.
]

---
# Ejemplo de un colisionador:

.pull-left[
### ¿Los computines son socialmente raros?

```r
set.seed(14233)
survey <- tibble(
  # Capacidades técnicas.
  prog=rnorm(1000),
  # Capacidades sociales.
  social=rnorm(1000)) %>%
  # Te contratan por agregado de capacidad.
  mutate(hired = (prog + social > .25))

# ¿Los computines son más nerdos?
# En verdad, los computines no son m'as nerdos.
m1 <- feols(social~prog, survey)

# Si solo encuestamos a los contratados...
s_hired <- survey %>% filter(hired == 1)
m2 <- feols(social~prog, data = s_hired)

# Si controlamos por empleo
m3 <- feols(social ~ prog + hired, data = survey)
```
]

.pull-right[
### La correlación simple es correcta:
- El efecto estimado de capacidades ténicas sobre las sociales es 0.04, estadísticamente insignificante.

### Si restringimos la muestra a los empleados:
- El efecto estimado de capacidades ténicas sobre las sociales es -0.47, estadísticamente significativo.

### Si controlamos por empleo (Colisionador):
- El efecto estimado de capacidades ténicas sobre las sociales es -0.43, estadísticamente significativo.
]

---
# Ejemplo de un colisionador:

.pull-left[
  .center[<img src="images/Collider2.png" width="100%" />]
]

.pull-right[
### La correlación simple es correcta:
- El efecto estimado de capacidades ténicas sobre las sociales es 0.04, estadísticamente insignificante.

### Si restringimos la muestra a los empleados:
- El efecto estimado de capacidades ténicas sobre las sociales es -0.47, estadísticamente significativo.

### Si controlamos por empleo (Colisionador):
- El efecto estimado de capacidades ténicas sobre las sociales es -0.43, estadísticamente significativo.
]

---
# Ejemplo de un colisionador:

.pull-left[
  .center[<img src="images/Collider3.gif" width="100%" />]
]

.pull-right[
### La correlación simple es correcta:
- El efecto estimado de capacidades ténicas sobre las sociales es 0.04, estadísticamente insignificante.

### Si restringimos la muestra a los empleados:
- El efecto estimado de capacidades ténicas sobre las sociales es -0.47, estadísticamente significativo.

### Si controlamos por empleo (Colisionador):
- El efecto estimado de capacidades ténicas sobre las sociales es -0.43, estadísticamente significativo.
]

---
# Ejercicio:
.pull-left[
### Nos interesa el efecto de la educación sobre la fertilidad. Tenemos un modelo capturado por el siguiente DAG:
]

.pull-right[.center[<img src="images/DAG3.png" width="100%" />]]

### Preguntas:
- ¿Cuáles son los supuestos en el DAG? ¿Les parecen correctos? 
- Bajo el modelo: ¿Debemos controlar por ingresos? ¿Debemos controlar por el sector económico?

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# ¿Cómo dibujamos un DAG?
### Como no estamos en una simulación, no sabremos el verdadero proceso de generación de datos (DGP).
- Solo tenemos nuestro conocimiento de la situación y nuestra intuición económica. 
- El objetivo el DAG es sintetizar ese conocimiento y esa intuición en un set de relaciones causales acíclicas.
- Un modelo es una simplificación de la realidad. Nuestro DAG no va a capturar el verdadero DGP.
- Pero que el modelo sea incorrecto no significa que no sea útil. Simplificar permite entender.

### Pasos para construir un DAG partiendo de una pregunta causal.
- Parte de una linea dirigida desde tu causa de interes hacia tu consecuencia de interés.
- Considera todas las variables que pueden mediar en esa relación en el DGP (Inclusive las que no puedes observar).
- Sin sobresimplificar: Combína las que calcen dentro del mismo fenómeno.
- Sin sobresimplificar: Elimina las que pudiesen ser marginales para el análisis.
- Considera las relaciones causales entre todas las variables remanentes, y marca lineas dirigidas entre ellas.
- Las flechas tienen dirección. Dos variables correlacionadas sin flecha entre ellas deben estar causadas por otra.
- No deben haber ciclos: No puedes seguir las flechas en una dirección y terminar en el mismo sitio.
- Refleja bucles de retroalimentación con relaciones temporales: Valor de Y en t -> Valor de Y en t+1.

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# Hagamos un DAG: 
# Leyes de protección a la mujer `$\to$` Violencia de género.

### Utiliza tu conocimiento de la situación 
### 1. Lista las variables que pueden mediar en la relación
### 2. Simplifica sin sobresimplificar
### 3. Dibuja las flechas.
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# Una vez tenemos nuestro diagrama:

### ¿Cuáles son las puertas principales?
### ¿Cuáles son las puertas traseras?
### ¿Cómo podemos "cerrar" las puertas traseras?

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# Dos maneras de "Cerrar puertas traseras":

### Residualizar la variación de la puerta trasera:
- Lo que hacemos con una regresión que "controla" por la puerta trasera.

### Seleccionar comparaciones donde no hay variación en la puerta trasera.
- Lo que hacemos a través de métodos de "pareo" (Matching).
- Escoge observaciones para las que los valores de X cambian, pero los valores de Z se mantienen muy similares.
- Si el tratamiento de interés X es binario, podemos utilizar las variables en Z para predecirlo, y luego evaluar el efecto del tratamiento controlando por la probabilidad de ser tratado (Propensity score matching - ejercicio con Carlos).

### Ambos métodos se sustentan en supuestos estadísticos distintos, pero ambos buscan "cerrar puertas traseras". Todo bajo el supuesto de independencia condicional entre tratamiento y resultados potenciales

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# Gracias